O outro lado da matemática

 
Tudo é matemática: eis uma afirmação feita por tanta gente, amantes ou não da matemática. Em contraste vem o senso comum do que é essa área, afinal: números, contas, equações, formas geométricas… Será isso “tudo”?

Seria coerente conviver com a ideia fragmentada da matemática dos tempos de escola e, ao mesmo tempo, essa afirmação tão ampla e vaga que alguns professores, cientistas, estudantes, nos dizem?

Seria possível elevar a matemática a um patamar mais amplo?

Um primeiro passo para isso é entender que a matemática, como ciência, estudada por pesquisadores e estudantes, assemelha-se pouco ao que vemos nos anos de colégio. Enquanto os alunos no Ensino Fundamental e Médio tendem a trabalhar a habilidade em contas e a aplicação de fórmulas, a aplicação na pesquisa trabalha a precisão na definição e argumentação, tangenciando por um lado a filosofia, e por outro as aplicações práticas.

A "matemática" escolar às vezes causa estranheza.
A “matemática” escolar às vezes causa estranheza.

A disparidade entre a experiência da matemática na escola e dos pesquisadores nos leva a questionar a forma com que a disciplina é ensinada.

Esse questionamento é diferente dos problemas educacionais – os de cunho mais prático – que estamos acostumados a discutir. É um tema que beira à filosofia do que é a matemática, e como ela pode ser útil para a vida de quem escolhe outros caminhos, e ao mesmo tempo atender a demanda de profissionais que o país precisa.

É comum vermos aplicações no âmbito das engenharias, economia e física, mas é incomum uma abordagem mais abrangente que pode mudar a forma como pensamos, argumentamos, e compreendemos o mundo ao nosso redor através da ciência.
 

O que números têm a ver com lógica e argumentação?

 
Vamos começar imaginando uma frase simples:

“O excesso de café é causador de câncer”

Por que é tão difícil discutir ou argumentar sobre essa afirmação? Por que são necessárias pesquisas – muitas vezes contraditórias – para debater esse tipo de assunto?

A resposta mais pura para essa questão é: a quantidade de variáveis envolvidas. Primeiro, como saber se foi mesmo o café o causador do câncer? Se a pessoa beber café com açúcar e o problema for o açúcar? Se entre as pessoas que tomam café houver maior incidência de fumantes? E se o problema não fosse diretamente o café, mas a qualidade do sono, por exemplo?

Enfim, para examinar algo assim é necessário pensar em cada uma dessas variáveis, tentar isolá-las e fazer com que tenham pouca influência no caso estudado. Isso se chama método científico.

A vantagem de um problema matemático qualquer é que todas as variáveis do problema estão a disposição, sendo dever de quem estuda descobrir como encontrá-las (quando é preciso observar o problema para extrair dados), ou como usá-las (quando é preciso saber as fórmulas corretas que se deve aplicar).

Em resumo, é como se tudo o que você precisasse saber sobre o café pudesse ser listado em alguns itens, e, fazendo o papel da fórmula, já existisse uma pesquisa indicando o que causa e o que não causa câncer. Seria mais fácil, não? Pois é, essa é a forma matemática de pensar.

Seguindo esse raciocínio, os problemas matemáticos trabalhados na escola podem ser pensados como simplificações de problemas reais, em que todos os dados são concretos, numéricos. Exercitar esse raciocínio de maneira correta, com problemas bem formulados e não apenas contas repetitivas, pode trazer um grande benefício do ponto de vista da argumentação lógica, algo que anda em falta.
 

Modelagem matemática

 
Um dos exercícios mais comuns da matemática nas demais ciências é a modelagem do mundo real. Modelar algo envolve quase sempre retirar variáveis para tornar o problema mais simples. A Terra vira uma esfera, uma praça se torna um quadrado, a economia se torna compreensível em um modelo matemático.

Ao representar uma praça como um quadrado, e um banco como um ponto no meio do quadrado, é possível passar de um mundo concreto (onde há plantas, pessoas, outros bancos, barulho) para um mundo abstrato: um quadrado e um ponto. Se o objetivo é calcular a distância da rua ao banco, tal representação é suficiente.

Há quem não goste de tanto reducionismo. Entretanto, para entendermos qualquer teoria científica, necessitamos compreender de que maneira a modelagem desta teoria foi feita.

Imaginemos que, se para estudar uma maçã caindo, Newton tivesse considerado todas as forças, de atômicas a planetárias, agindo sobre a maçã. Certamente estaria a olhá-la até hoje. Já isolando as variáveis principais – a aceleração da gravidade, velocidade inicial, tempo de queda – ele conseguiu uma bela aproximação.

A matemática estimula o pensamento objetivo nas crianças.
A matemática estimula o pensamento objetivo nas crianças.

A meteorologia é outro exemplo concreto. Há uma famosa intuição da teoria do caos que cita o bater das asas de uma borboleta no Brasil gerando furacões nos Estados Unidos. O clima possui mesmo milhões de variáveis, é papel da meteorologia selecioná-las de acordo com o objetivo. Na prática, é altamente improvável que asas de uma borboleta ganhem tal proporção, e por isso desconsideramos esse e outros milhões de efeitos na hora de prever a ventania do dia seguinte.

Da mesma forma, para criar uma teoria sobre um problema social, não é possível levar em consideração todas as características da população, muito menos de cada indivíduo. A própria ideia de pensar na sociedade já é, por si só, uma maneira de tornar o problema mais simples.

Ao nos depararmos com uma teoria, uma das primeiras perguntas deveria ser: que fatores são levados em conta e, principalmente, quais foram desprezados ao sustentarmos essa tese?

O exercício da matemática nos ajuda a organizar o pensamento, tanto para ciência quanto para a conversa do bar, nos auxiliando a ter algum método. A primeira pergunta que a matemática nos deixa é: ok, o que eu gostaria de considerar neste problema? Desconsiderar tais fatores é uma boa representação? Ou, ainda: será que meu desconforto com determinada ideia está na maneira de modelá-la ou nos argumentos utilizados posteriormente?
 

Matemática e precisão

 
O que há em comum entre todos os matemáticos é o gosto pela precisão. Claro que nem todos precisamos desse mesmo grau de paixão pelo rigor, mas essa característica é um grande diferencial para um bom argumento.

Em primeiro lugar, em matemática tudo o que é considerado está muito bem definido. Um círculo na matemática, nessa perspectiva, não é o mesmo que um círculo do mundo real, pois o mundo real sempre conterá imperfeições. Objetos da forma como o vemos no mundo real são aproximações de formulações abstratas desse mesmo objeto. Essas formulações abstratas têm características mais simples, e jamais reproduzem inteiramente o real.

Nesse ponto de vista, estudar matemática incentiva um hábito que poucas atividades são capazes de produzir: trabalhar com objetos perfeitos, rigorosamente definidos. Isso nos tira uma grande dor de cabeça, que é levar em conta todas as possíveis imperfeições.

Essa convivência com o bem definido pode ser bastante saudável a medida que notamos a diferença entre outros argumentos e os argumentos matemáticos, e a medida que surgem questionamentos antes desconsiderados. Dessa forma, é possível perceber limitações com mais facilidade, aguçando o senso crítico.

É comum ao matemático definir antes de afirmar. Afirmações como: “Nos tornamos pessoas melhores” ou “Esse sistema nos tornará mais livres” ou ainda “A cidade está cada vez pior”, pedem definições: O que é melhor? O que é ser livre? Pior em que e para quem?
 

A matemática e as outras ciências

 
Algo que a matemática ajuda bastante a compreender são as demais ciências, não somente de forma direta. O raciocínio lógico está totalmente vinculado ao método científico, ou maneira separar o que é ciência do que não é, e, portanto, está dentro de todas as afirmações científicas, de física à nutrição.


Uma das primeiras confusões sobre o método científico está em confundir ciência com verdade. Nem tudo o que é ciência é verdade, como percebemos pelas mudanças da ciência ao longo dos anos, e nem tudo o que é verdade é ciência (caso fosse, o que estaria a ciência pesquisando agora?). O fato é que a ciência é o mais perto que conseguimos chegar de verdades objetivas, que falem do ambiente em que vivemos.

O entendimento mais profundo de ciência daria às pessoas mais clareza a respeito de suas atitudes e melhores argumentos.

Para tentar perceber isso, consideremos um exemplo de teoria científica que comumente intriga a compreensão das pessoas, a mecânica quântica. A mecânica quântica aparece em algumas mídias como intimamente relacionada a teorias de cunho espiritual e curas para vários males. Há até mesmo provas que tais tratamentos funcionam. E se as pessoas, mesmo sem conhecimento físico-matemático, fizessem a seguinte pergunta: essas afirmações podem ser consideradas científicas?

As ramificações da matemática: não é uma ciência pronta e acabada.
As ramificações da matemática: não é uma ciência pronta e acabada.

Um pouco mais de conhecimento matemático, mesmo aquele adquirido no ensino básico, facilita muito a leitura e introdução de conceitos das ciências exatas em geral, e principalmente desmistifica a ideia do gênio – isso é, aquela ideia de que para entender relatividade, ou mecânica quântica, por exemplo, é preciso ser muito inteligente, como se isso desse algum tipo de poder sobre quem detém esse conhecimento.

Algumas pessoas utilizam esse “poder” dado a elas para propagar teorias falsas, que as outras se sentem incapazes de contestar. Para quem está longe do trabalho científico pode ser difícil diferenciar o que é ciência do que é fé, mas isso é possível. O rigor de raciocínio é essencial nesse tipo de busca.

Para responder até que ponto podemos considerar como científicas essas aplicações da mecânica quântica – sempre notando que a questão não é sua veracidade de forma mais ampla – devemos começar lendo sobre o assunto, ainda que em versão simplificada. É sim, para muitos fins, suficiente entender a base menos técnica para se dar o direito de fazer perguntas, como “se a todo momento a teoria quântica fala de átomos, como foi feita essa passagem para o ser humano como um todo? Poderíamos extrapolar os limites dessas barreiras? O quanto o comportamento de um átomo pode afirmar sobre o comportamento de 7 octilhões (número aproximado em um ser humano) deles?” Essas são perguntas que um matemático, que nada entenda de mecânica quântica, com certeza faria.

Mais uma vez, o processo de precisão dos argumentos matemáticos torna mais fácil reconhecer esse tipo de fraude, mesmo que  ela não seja de má-fé.
 

Entendendo o mundo através de modelos estatísticos

 
Outra ciência importante que nos ajuda a entender o mundo científico e argumentativo é a estatística. A estatística é extremamente importante e poderosa num argumento. Com ela, é possível sair do seu mundo e falar sobre o mundo dos outros.

É raro uma ciência empírica sem estatística. Basicamente, como saber se um experimento com 100, 200, 300 pessoas é representativo? Podemos calcular a probabilidade de que ele o seja?

A resposta é que com a matemática podemos entender muito sobre o quanto um experimento, seja ele qual for, é representativo. E há linhas de pesquisa nesse sentido, e até em ciências sociais, como a psicologia.

Mas até onde esses números são matemática? Essa também é uma questão interessante. De certa forma, a estatística é importante para compreensão de que a lógica e a própria linguagem matemática estão em qualquer ciência, fundamentando e limitando até onde o conhecimento é exato.

Uma forma ilustrativa de apresentar os alertas intrínsecos à estatística é a famosa diferença entre correlação e causa. Por exemplo, considere a seguinte frase:

“Pesquisa indica que quanto mais bombeiros chegam ao local, maiores os danos causados pelo incêndio”

Apresentada desse modo, é natural vermos uma relação de causa entre os bombeiros presentes e os danos causados pelo incêndio. Mas obviamente isso é absurdo.

A frase não está errada, o que está errado é nosso julgamento de que uma correlação implica numa causa. A explicação mais provável é que incêndios de maior gravidade recebem mais chamadas de bombeiros, e, justo por serem graves, causam mais danos.

Dentro disso, outro fato importante é que toda pesquisa científica experimental se baseia em correlação. Afirmações como: “Atividades físicas diminuem o risco de diabetes” matematicamente significam “Atividades físicas estão correlacionadas a menores riscos de diabetes”.

Certamente o método cientifico tenta minimizar a influência de outros possíveis causadores, isolando o objetivo do estudo. Isso é razoável e necessário, e é o que difere uma boa pesquisa de uma ruim.

Mesmo assim, esse tipo de observação nos mostra que a correlação é algo próprio da medida matemática (embora nem sempre correlação matemática implique que duas coisas estão interligadas), enquanto a noção de causa é de maior complexidade, uma questão que estará sempre presente, sem provas definitivas – e portanto, é mutável.

Aí reside a diferença entre qualquer ciência empírica e a ciência formal da matemática. Esta é feita de rigor e apresenta afirmações que jamais se tornarão falsas. Qualquer outra ciência, por mais que bem fundamentada em números, jamais terá a mesma precisão. É como aquele café que hoje causa câncer, mas que pode virar mocinho depois.
 

Estratégia de guerra

 
Um exemplo real e bastante interessante por envolver precisão de raciocínio dentro da estatística está presente no livro O Poder do Pensamento Matemático, de Jordan Ellenberg.

Durante a segunda guerra, uma equipe de brilhantes matemáticos e estatísticos analisou a seguinte situação: era preciso blindar aviões pois estavam sendo atingidos por inimigos. No entanto a blindagem era pesada, e era necessário priorizar áreas do avião. O natural foi então analisar os aviões disponíveis, que haviam participado de conflitos mas não tinham sido destruídos. Notou-se um padrão: havia um grande número de marcas de tiro na fuselagem, contrastando com quase nenhuma no motor. O consenso seria, então, blindar a fuselagem. Mas qual foi a solução definitiva? Blindar a parte do motor.


É que os matemáticos perceberam que a amostra de aviões não era significativa, mas ainda tinha algo a dizer: se os aviões disponíveis eram aqueles que quase não possuíam marcas de tiros no motor, então os aviões destruídos e que não podiam ser examinados eram aqueles atingidos justo no motor, pois essa parte era mais vulnerável, provocando a queda.

O mérito nessa questão é separar os pressupostos do argumento. Nesse caso, o pressuposto é que os aviões disponíveis são uma boa representação do total. Aí está o engano.
 

O que é pesquisa em matemática?

 
Depois de todos esses argumentos sobre como o bom exercício matemático está relacionado a lógica e a outras ciências, seria interessante saber um pouco mais sobre o que é matemática enquanto ciência em desenvolvimento.

Muitas pessoas acham que essa disciplina já está concluída. Mas existe pesquisa em matemática, afinal?

Sim, existe muita pesquisa na área, como em qualquer outra ciência. Essa vertente acadêmica se distancia muito da matemática da escola, se tornando mais abstrata e mais desafiadora.

Como ciência, a matemática é uma espécie de linguagem para falarmos de objetos abstratos, que podemos imaginar sendo números. Como toda linguagem, ela se relaciona mais à lógica e à construção de teorias do que com objetos, ou números.

Imaginemos, por exemplo, os números primos. Aprendemos que um número primo é aquele que só é divisível (sem fração) por 1 e por ele mesmo. Exemplos são: 2,3,5,7 e 11.  Embora esse aparente ser apenas um exercício de ensino básico, números primos têm aplicações importantes, como proteger sua senha de cartão de crédito, uma área de estudo chamada criptografia, e vários outros algoritmos.

Uma pergunta genuína para um matemático seria: existem infinitos números primos? Existe alguma regularidade entre os números primos?

Também faz parte do trabalho de um matemático achar as perguntas certas para ir além: existiria uma fórmula, tal qual as fórmulas da escola, que nos fornecesse primos cada vez maiores?

A matemática se preocupa em responder perguntas como essas de forma rigorosa, precisa. O argumento matemático não pode conter ambiguidades, e argumentar desta forma é um exercício que só a própria matemática pode nos propor com tamanha simplicidade.

Para responder e criar perguntas nesse nível, números e contas como conhecemos no ensino básico não são necessários. Precisamos de raciocínio lógico em cima do que é um número primo, sua definição. Um computador é capaz de calcular os primeiros 3.000.000 de números primos, mas na visão de um matemático isso não responde o questionamento os números primos se são infinitos ou não.

Alguns exemplos de objetos matemáticos que não são números são funções, conjuntos e objetos geométricos. As fórmulas que conhecemos, como perímetro de um círculo e o volume de uma pirâmide, foram deduzidas há muitos anos com artifícios belamente simples, como amarrar um barbante em volta de um círculo e medir seu perímetro através do comprimento do barbante.

Hoje em dia, na matemática moderna, encaramos estas questões de outras maneiras, com artifícios matemáticos mais sofisticados. Conseguimos mostrar que para todos os círculos imagináveis o barbante teria um comprimento dado por determinada fórmula, algo como medir todos os círculos possíveis sem fazer isso diretamente. A ideia do barbante se limita a intuição.

O trabalho de formalizar e argumentar sobre nossas ideias intuitivas do mundo é rotineiro para quem estuda matemática. O interessante é que, nessa brincadeira, alguns matemáticos percebem que suas teorias podem ser bastante abrangentes e assim descobrem novos padrões, ainda não conhecidos pela humanidade.
 

O ensino da matemática, criatividade e senso crítico

 
Muitas pessoas associam matemática a uma profissão de pessoas um tanto quanto padronizadas e de pouca criatividade. Não é bem assim. Aprender a argumentar com precisão por caminhos distintos e criativos é um dos grandes desafios da área.

Por mais estranho que possa parecer, o estudo da matemática deveria estar mais atrelado ao pensamento lógico e argumentação do que a números.

Além da familiaridade com sistemas numéricos ser muito importante por si só, problemas envolvendo quantidades absolutas são ideais para desenvolver raciocínio lógico. Tais problemas, com uma verdade bem definida e única, podem ser, além de úteis e desafiadores, excelentes treinamentos para argumentar e se posicionar perante outros tipos de problema.

É claro que o ensino de matemática, no Brasil e em boa parte do mundo, passa longe dessa meta. É muito mais difícil ensinar lógica do que certas artimanhas com números. Não é um problema exclusivamente brasileiro ou de falta de verbas, é um desafio intelectual.

Pessoalmente, a clareza lógica que me trouxe anos estudando matemática é bastante valiosa. Esse estudo é, de fato, um eterno exercício de precisão, mesmo quando fazer isso parece muito complicado.

Nesse ponto de vista, um advogado ou filósofo tem muito a aprender e a se inspirar nos matemáticos. O ensino da matemática pode revolucionar como as pessoas pensam, como são capazes de concordar e compactuar com argumentos facilmente falseáveis.

Nem tudo são números, mas a matemática permeia toda a ciência, e ciência é estudo com método. Portanto, da próxima vez que alguém numa discussão mandar a outra pessoa estudar história, aproveite para sugerir que estude também um pouco de matemática.


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escrito por:

Clara Macedo Lage

Quando criança quis ser poeta, tornei-me matemática, o que fez de mim uma poeta exigente. Tenho como principal distração entender o mundo por vários caminhos, e estou eternamente buscando equilibrar todos eles. Mantive da poesia o amor por escrever, por observar, por conversar e pela música.


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